Il metodo di Archimede

ƒAp¡steil‹ soi prñteron tÇn eêrhm¡nvn yevrhm‹tvn
Žnagr‹caw aétÇn tŒw prot‹seiw f‹menow eêrÛskein
taætaw tŒw ŽpodeÛjeiw, "w oék eäpon ¤pÜ toè parñntow:
·san d¢ tÇn Žpestalm¡nvn yevrhm‹tvn aß prot‹seiw aáde:

Ti scrissi precedentemente circa alcuni
teoremi da me trovati, e ti inviai i loro enunciati, invitandoti
a trovarne le dimostrazioni, che allora non potei indicare.
Gli enunciati di quei teoremi erano i seguenti:

toè m¢n prÅtou: ¤Œn eÞw prÛsma ôryòn parallh-
lñgrammon ¦xon b‹sin kælindrow ¤ggraf» tŒw m¢n
b‹seiw ¦xvn ¤n toÝw ŽpenantÛon parallhlogr‹mmoiw,
tŒw d¢ pleurŒw ¤pÜ tÇn loipÇn toè prÛsmatow ¤pip¡dvn,
kaÜ di‹ te ÷w ¤sti b‹siw toè
kulÛndrou, kaÜ mi�w pleur�w toè tetragÅnou toè ¤n tÒ
katenantÛon ¤pip¡dÄ Žxy» ¤pÛpedon, tò Žxy¢n ¤pipÛpedon
ŽpotemeÝ tm°ma Žpò toè kulÛndrou, ÷ ¤sti periexñmenon
êpò dæo ¤pip¡dvn kaÜ ¤pifaneÛaw kulÛndrou, ¥nòw m¢n
toè Žxy¡ntow, ¥t¡rou d¢ ¤n Ú ² b‹siw ¤stÜn toè kulÛndrou,
t°w d¢ ¤pifaneÛaw t°w metajç tÇn eÞrhm¡nvn ¤pip¡dvn,
tò d¢ Žpotmhy¢n Žpò toè kulÛndrou tm°ma §kton m¡row
¤stÜ toè ÷lou prÛsmatow.

Del primo; Se in un prisma retto avente
per base un parallelogrammo si inscrive un cilindro avente le basi
sopra due parallelogrammi opposti e i lati sopra gli piani
del prisma, e se per il centro del cerchio base del cilindro e
per un lato del quadrato della faccia opposta si conduce
un piano, questo piano staccherà dal cilindro un segmento limitato
da due piani e dalla superficie del cilindro, cioè dal piano secante
e dal piano in cui è situata la base del cilindro,
e dalla superficie [cilindrica] compresa fra questi
due piani; il segmento cilindrico così determinato è la
sesta parte di tutto il prisma

Toè d¢ ¥t¡rou yevr®matow ²
prñtasiw ´de: ¤Œn eÞw kæbon kælindrow ¤ggraf» tŒw
m¢n b‹seiw ¦xvn pròw toÝw katenantÛon parallhlogr‹m-
moiw, t¯n d¢ ¤pif‹neian tÇn loipÇn tess‹rvn ¤pip¡dvn
¤faptom¡nhn, ¤ggraf» d¢ kaÜ �llow kælindrow eÞw tòn
aétòn kæbon tŒw m¢n b‹seiw ¦xvn ¤n �lloiw parallh-
logr‹mmoiw, t¯n d¢ ¤pif‹neian tÇn loipÇn tess‹rvn
¤pip¡dvn ¤faptom¡nhn, tò perilhfy¢n sx°ma êpò tÇn
¤pifaneiÇn tÇn kulÛndrvn, ÷ ¤stin ¤n Žmfot¡roiw toÝw
kulÛndroiw, dÛmoirñn ¤sti toè ÷lou kæbou.

L'enunciato del secondo era: Se in un cubo
s'inscrive un cilindro avente le basi sopra due parallelogrammi
opposti e la superficie (laterale) tangente agli altri
quattro piani (facce), e se nello stesso cubo s'inscrive
poi un altro cilindro avente le basi su altri due
parallelogrammi e la superficie tangente agli altri
quattro piani, il solido compreso dalle superficie dei
cilindri e comune ad ambedue i cilindri è uguale ai due terzi di
tutto il cubo

SumbaÛnei d¢ taèta tŒ yevr®mata diaf¡rein tÇn prñteron eêrhm¡nvn:
¤keÝna m¢n gŒr tŒ sx®mata, t‹ te kvnoeid° kaÜ sfairoeid°
kaÜ tŒ tm®mata kÅnvn
kaÜ kulÛndrvn sunekrÛnamen, ¤pip¡doiw d¢ periexom¡nÄ
stereÒ sx®mati oéd¢n aétÇn àson ¤òn eìrhtai, toætvn
d¢ tÇn sxhm‹tvn tÇn dusÜn ¤pip¡doiw kaÜ ¤pifaneÛaiw
kulÛndrvn §kaston ¥nÜ tÇn ¤pip¡doiw periexom¡nvn
stereÇn sxhm‹tvn àson eêrÛsketai.

Merita di essere notato come questi teoremi
differiscono da quelli scoperti precedentemente: infatti
i solidi di cui allora trattavamo, cioè i conoidi e gli sferoidi
e i loro segmenti, vennero confrontati, rispetto al volume,
con coni e cilindri, e nessuno di essi fu trovato uguale
a una figura solida limitata da piani; invece delle figure ora
considerate, comprese da due piani e da superficie cilindriche,
ciascuna si trova essere uguale a una figura solida limitata
da piani,

Toætvn d¯ tÇn yevrhm‹tvn tŒw ŽpodeÛjeiw ¤n tÒde
tÒ biblÛÄ gr‹caw ŽpostelÇ soi.

Ti invio le dimostrazioni di questi teoremi
scritte in questo libro.

„OrÇn d¡ se, kay‹per l¡gv, spoudaÝon kaÜ filosofÛaw
proestÇta Žjiolñgvw kaÜ t¯n ¤n toÝw may®masin katŒ
tò êpopÛpton yevrÛan tetimhkñta ¤dokÛmasa gr‹cai
soi kaÜ eÞw tò aétò biblÛon ¤jorÛsai trñpou tinòw Þdiñthta,
kay' ÷n soi parexñmenon ¦stai lamb‹nein ŽformŒw eÞw tò
dænasyaÛ tina tÇn ¤n toÝw may®masi yevreÝn diŒ tÇn
mhxanikÇn. Toèto d¢ p¡peismai xr®simon eänai oéd¢n
¸sson kaÜ eÞw t¯n Žpñdeijin aétÇn tÇn yevrhm‹tvn.
KaÜ g‹r tina tÇn prñterñn moi fan¡ntvn mhxanikÇw
ìsteron gevmetrikÇw ŽpedeÛxyh diŒ tò xvrÜw ŽpodeÛjevw
eänai t¯n diŒ toætou toè trñpou yevrÛan: ¥toimñteron
g‹r ¤sti prolabñnta diŒ toè trñpou gnÇsÛn tina tÇn
zhthm‹tvn porÛsasyai t¯n Žpñdeijin m�llon µ mhdenòw
¤gnvsm¡nou zhteÝn. <... Diñper kaÜ tÇn yevrh>m‹tvn
toætvn, Ïn Eëdojow ¤jhærhken prÇtow t¯n Žpñdeijin,
perÜ toè kÅnou kaÜ t°w puramÛdow, ÷ti trÛton m¡row
õ m¢n kÇnow toè kulÛndrou, ² d¢ puramÜw toè prÛsmatow,
tÇn b‹sin ¤xñntvn t¯n aét¯n kaÜ ìcow àson, oé mikrŒn
ŽponeÛmai �n tiw DhmokrÛtÄ merÛda prÅtÄ t¯n Žpñfasin
t¯n perÜ toè eÞrhm¡nou sx®matow xvrÜw ŽpodeÛjevw Žpofhnam¡nÄ.

Ma siccome ti
riconosco, come già ho fatto, studioso e maestro eccellente
di filosofia, e sai apprezzare, quando è il caso, le ricerche
matematiche, ho vreduto bene esporti e dichiararti in questo
stesso libro le particolarità di un metodo, mediante il quale
ti sarà possibile acquistare una certa facilità di
trattare cose matematiche per mezzo di considerazioni meccaniche.
Son persuaso, del resto, che questo metodo sarà non meno utile
anche per la dimostrazione degli stessi teoremi. Infatti, anche
a me alcune cose si manifestarono prima per via meccanica, e
poi le dimostrai geometricamente; perché la ricerca fatta
con questo metodo non importa una vera dimostrazione.
Però è certamente più facile, dopo avere con tal metodo
acquistato una certa cognizione delle questioni,
trovarne la dimostrazione, anzichè cercarla senza averne
alcuna cognizione preliminare. Per questa ragione, anche di quei
teoremi, riguardanti il cono e la piramide, di cui Eudosso
trovò per primo la dimostrazione, cioè che il cono è la
terza parte del cilindro e la piramide è la terza parte
del prisma, aventi la stessa base e altezza uguale, un
merito non piccolo dovrebbe attribuirsi a Democrito,
che per primo enunciò questa proprietà delle dette
figure senza dimostrazione.

„HmÝn d¢ sumbaÛnei kaÜ toè nèn ¤kdidom¡nou
yevr®matow t¯n eìresin õmoÛan taÝw prñteron gegen°syai:
±boul®yhn d¢ tòn trñpon Žnagr‹caw ¤jenegkeÝn 'ma
m¢n kaÜ diŒ tò proeirhk¡nai êp¢r aétoè, m® tisin dokÇmen
ken¯n fvn¯n katabebl°syai, 'ma d¢ kaÜ pepeism¡now
eÞw tò m‹yhma oé mikrŒn 'n sumbal¡syai xreÛan: êpo-
lamb‹nv g‹r tinaw µ tÇn öntvn µ ¤piginom¡nvn diŒ
toè Žpodeixy¡ntow trñpou kaÜ �lla yevr®mata oëpv
²mÝn sunparapeptvkñta eêr®sein.
Gr‹fomen oïn prÇton tò kaÜ prÇton fan¢n diŒ tÇn
mhxanikÇn, ÷ti p�n tm°ma ôryogvnÛou kÅnou tom°w
¤pÛtritñn ¤stin trigÅnou toè b‹sin ¦xontow t¯n aét¯n
kaÜ ìcow àson, metŒ d¢ toèto §kaston tÇn diŒ toè aétoè
trñpou yevrhy¡ntvn: ¤pÜ t¡lei d¢ toè biblÛou gr‹fomen
tŒw gevmetri Ïn tŒw pro>t‹seiw ŽpesteÛlam¡n .

PROLAMBANOMENA

ƒEŒn Žpò meg¡youw m¡geyow Žfairey», shmeÝon k¡n>tron toè b‹rouw <Â toè te ÷lou> kaÜ
toè Žfairoum¡nou, loipoè tò aétò shmeÝon tron> ¤stÜ toè b‹rouw.
<ƒEŒn Žpò meg¡>youw m¡geyo m¯ tò
aétò shmeÝon k¡ntron toè b‹rouw toè te ÷lou meg¡youw
kaÜ toè Žfairoum¡nou meg¡youw, tò k¡ntron ¤stÜ toè
b‹rouw toè loipoè meg¡youw ¤pÜ t°w t°w
¤pizeugnuoæshw tŒ k¡ntra toè b‹rouw toè te ÷lou toè Žfairoum¡>nou ¤kbeblhm¡nhw kaÜ ŽfaireyeÛshw
Žp' aét°w pròw t¯n metajç tÇn eÞrhm¡nvn k¡ntrvn toè
b‹rouw toèton ¤xoæshw tòn lñgon, ùn ¦xei tò b‹row
toè Žfairoum¡nou meg¡youw pròw tò [loipòn] b‹row
toè loipoè meg¡youw.
ƒEŒn õposvnoèn megey¡vn tò k¡ntron toè b‹rouw
¤pÜ t°w aét°w eéyeÛaw Â, kaÜ toè ¤k p‹ntvn sugkeim¡nou
meg¡youw tò k¡ntron ¦stai ¤pÜ t°w aét°w eéyeÛaw.
P‹shw eéyeÛaw tò k¡ntron ¤stÜ toè b‹rouw ² dixotomÛa
t°w eéyeÛaw.
Pantòw trigÅnou tò k¡ntron ¤stÜn toè b‹rouw tò
shmeÝon, kay' ù aß ¤k tÇn gvniÇn toè trigÅnou ¤pÜ m¡saw
tŒw pleurŒw Žgñmenai eéyeÝai t¡mnousin Žll®law.
Pantòw parallhlogr‹mmou tò k¡ntron ¤stÜn b‹rouw tò shmeÝon, kay' ù aß di‹metroi sumpÛptousin.
Kæklou> tò k¡ntron toè b‹rouw ¤stÜn ù kaÜ kæklou> ¤stÜ k¡ntron.
Pantòw kulÛndrou tò k¡ntron toè b‹rouw ¤stÜn ²
dixotomÛa toè �jonow.
Pantòw prÛsmatow tò k¡ntron ¤stÜ toè b‹rouw ² dixo-
tomÛa toè �jonow.
Pantòw kÅnou tò k¡ntron ¤stÜn toè b‹rouw ¤pÜ toè
�jonow diairey¡ntow oìtvw, Ëste tò pròw t» koruf»
tm°ma tripl‹sion eänai toè loipoè.
Xrhsñmeya d¢ kaÜ [¤n tÒ progegramm¡nÄ KvnoeidÇn]
tÒde tÒ yevr®mati: ƒEŒn õposaoèn meg¡yh �lloiw
meg¡yesin àsoiw tò pl°yow katŒ dæo tòn aétòn ¦xú lñgon
tŒ õmoÛvw tetagm¡na,  d¢ tŒ prÇta meg¡yh pròw �lla
meg¡yh ¤n lñgoiw õpoioisoèn, µ tŒ p‹nta ³ tina aétÇn,
kaÜ tŒ ìsteron meg¡yh pròw �lla meg¡yh tŒ õmñloga
¤n toÝw aétoÝw lñgoiw Â, p‹nta tŒ prÇta meg¡yh pròw
p‹nta tŒ legñmena tòn aétòn ¦xei lñgon, ùn ¦xei p‹nta
tŒ ìsteron pròw p‹nta tŒ legñmena.