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APPENDICE Il modello aritmetico della
cosmologia arcaica[1] I Intervalli temporali e sistemi di
equivalenze E come il tempo tegna in cotal testo le sue radici e ne li altri le
fronde, omai a te puot'esser manifesto Dante,Paradiso,XXVII,118-120 I
problemi della Cosmologia arcaica vertono essenzialmente sulle
espressioni degli intervalli temporali DT
e del sistema di equivalenze tra le varie espressioni e il calcolo delle
longitudini solari alle lune nuove e piene. I cicli presi in esame sono: il
giorno, il mese lunare, l'anno solare, la rivoluzione dei nodi lunari, ed i
cicli planetari. Non tratteremo del problema dei cicli planetari. Il
giorno viene definito come l'intervallo di tempo per una rotazione della
sfera celeste attorno al polo celeste. Si tratta del giorno sidereo e non di
quello solare, che è l'intervallo di tempo per due consecutivi passaggi al
meridiano. Il
mese lunare è l'intervallo di tempo per il ritorno del sole e della luna
alla medesima fase lunare: Congiunzione
: l sole = l luna; Opposizione
l luna = l sole + 180° L'anno
solare si distingue in sidereo, ritorno del sole alla medesima
stella fissa della sfera celeste, e in tropico, ritorno del sole ai
medesimi punti equinoziali o solstiziali. Questa distinzione dipende dalla
precessione degli equinozi: ogni anno tropico i punti equinoziali e solstiziali
si spostano in senso contrario alla direzione di corsa apparente del sole sulla
sfera celeste di 50"/a, angolo questo equivalente all'arco che
il polo celeste fa attorno al polo dell'eclittica. V'è poi un terzo anno,
chiamato giuliano, di 365.25 giorni che serve per i calcoli e per il calendario. I tre cicli vengono indicati con As,At, Ag. 1*At = 50"
72*At = 3600"=
1° (1) La
rivoluzione dei nodi lunari
(Rn) è l'intervallo di tempo che intercorre tra due
successive coincidenze del nodo ascendente lunare con il punto vernale o punto
equinoziale di primavera.Il nodo ascendente lunare come il punto equinoziale
del sole (intersezione dell' equatore celeste con l'eclittica), si sposta in
senso retrogrado , sicché si trova una notevole relazione, impiegata solo nella
Cosmologia arcaica, tra l'intervallo di tempo espresso in valori
angolari di precessione degli equinozi e il numero delle rivoluzioni dei nodi
lunari: i gradi e i primi per l'intervallo temporale e il numero di Rn sono in
progressione geometrica! Questa caratteristica permette non solo una facile
memorizzazione, importante per le culture pre-letterarie, ma anche una facilità
di calcoli, altrimenti impensabile: [1°
* x 2' * x ] Rp =
4*x Rn (2) La
(2) significa che nel tempo in cui il polo si sposta di 1° 2' avvengono 4 Rn.
Applicando la (1) alla relazione (2) si può ottenere il periodo dei nodi lunari
espresso in anni tropici. Questa
medesima relazione suggerisce la seguente domanda: Per lo stesso periodo di
tempo, qual è la differenza in giorni tra anno sidereo e anno tropico? Gli
antichi hanno trovato una terza equivalenza fondamentale: 1*x;
3*x giorni = 4*x Rn (3) Da
queste prime tre equivalenze si ottengono le seguenti: 20°40'
Rp = 80 Rn = 24,48;anni = 21 G (4)
La
(4) afferma che nel tempo in cui il polo celeste compie attorno al polo
dell'eclittica un angolo di 20° 40' avvengono 80 rivoluzioni dei nodi lunari e
1488 (24*60 + 48 = 1488) anni tropici, e la differenza annuale (As -
At), presa 1488 volte risulta di 21 giorni: 24,48;* (As - At) =
21
G (5) I
termini numerici della (5) sono multipli di 3, sicché essa si riduce a 8,16;*
(As - At) =
7 G (6) In
base alla (6) si può affermare e facilmente ricordare che l'anno sidereo supera
l'anno tropico di una quantità pari al rapporto di 7 a 8,16 giorni. Poiché
la differenza tra anno sidereo e anno giuliano di 365.25 giorni è minore della
differenza tra l'anno giuliano e quello tropico, partendo dalla (6), dividendo
per 2 il secondo membro, si avrà che 8,16+x;*(365.25
- At) = 3;30+y giorni (6
bis) La
(6 bis) si risolve solo se si conosce l'effettiva differenza oppure se il testo
arcaico preso in esame su questo argomento indichi espressamente le grandezze
incognite, x e y, che per la (6 bis) sono rispettivamente quattro e
ventiquattro: 8,20;*(365.25
- At) = 3;54 giorni (7) La
(7) è identica, se si vuole esprimerla in numeri a base decimale, a: in 5000
anni la differenza è di 39 giorni, oppure in 10000 anni la differenza è 78
giorni. Nei testi antichi non ricorre il numero 78, ma la enumerazione ordinale
di 12 elementi (primo, secondo, . . . , dodicesimo), la cui somma è 78. Con
la (6) e la (7) è possibile ricavare la relazione relativa alla differenza tra
anno sidereo e anno giuliano, che è 8,36,40;*(As - 365.25) = 3,15;42 giorni (7
bis) La
(6), la (7) e la (7 bis) hanno nella cultura arcaica il nome di Fulmine,
Tuono e Lampo, le armi di Zeus secondo la tradizione greca, mentre,
se la terra è il nome del quadrato, inscritto nel cerchio
dell'eclittica, i cui vertici sono i punti equinoziali e solstiziali, allora il
terremoto è il nome tratto dal cataclisma terreste per designare il
fenomeno celeste della precessione degli equinozi e conseguentemente
l'intervallo temporale espresso in valore angolare, DT°. L'epiteto omerico, scuotitor della terra,
dato a Posidone, il signore della terra, l'equivalente greco del sumerico
En-Ki, si rivela appropriato, essendo egli connesso con l'oceano, l'equatore
celeste, che interseca l'eclittica in punti sempre diversi. È
fondamentale, per poter fare i calcoli, conoscere il periodo medio del mese
lunare o mese sinodico della luna, che in base ai valori contemporanei è di
29.5306 giorni. Questo valore non può comparire, non solo per la notazione
decimale, ma anche perché non può essere, né memorizzato né espresso
esplicitamente in una relazione. Ciò che gli antichi hanno impiegato è una
relazione che lega l'intervallo DT
°, espresso in gradi, e il numero di mesi lunari: DT ° - DTg = DT * [14,50;30] mesi (8) Per
applicare la (8) è necessario trasformare l'espressione DT ° in giorni nel modo seguente: DT * 72*365.25 - DT
= DT*[14,50;30] mesi (8
bis) Poichè
per la (7) 365.25 = At +3.9/500, per semplice sostituzione, avremo DT*72*(At +3.9/500) - DT = DT*[14,50;30]
mesi (8
ter) Operando
sulla (8 ter) si ottiene facilmente l'espressione di equivalenza DT*72 At = DT*[14,50;30] mesi + DT*(1 - 72*3.9/500) DT*72 At = DT*[14,50;30] mesi + DT* 3,39;12/8,20 g. (9) La
(9) permette di porre una relazione tra l'intervallo temporale DT° e l'equivalente numero di anni tropici con il
corrispondente numero B di mesi lunari. Per sapere il valore approssimato
all'intero o alla metà è necessario seguendo questa via valutare l'espressione DT*
3,39;12/8,20 giorni comparandola al valore approssimato del mese lunare di 29.5
giorni. Tuttavia v'è un'altra procedura che dipende da una interessantissima relazione. Questa
relazione di equivalenza della cosmologia arcaica permette di trasformare
direttamente il numero B di mesi sinodici lunari in valori angolari DT ° di precessione degli equinozi o di Rp.
Essa è B 81 B 1 DT ° = ---------- -
[ -------- * ---------- * ----- ]
(10) 14,50;30
100
12000 3600 Il
termine correttivo della (10) è molto buono e implica che, per B = 12000 mesi
sinodici della luna, esso equivale a 0".81 pari a poco più di 5.91 giorni. Dalla
(10) si può ottenere il numero B di mesi lunari, dato un intervallo temporale
espresso in valore angolare di rivoluzione del polo celeste attorno al polo dell'eclittica Rp o di precessione degli
equinozi. (14,50;30)*DT ° 81 1 B = (14,50;30)*DT °
+ (14,50;30) * [ ---------------------- * ------ * ------- ] (10
bis) 12000 100 3600 A
questo punto si hanno tutte le relazioni per calcolare il ciclo lunisolare A
anni tropici = B mesi lunari e i parametri del sistema arcaico per il
calcolo delle longitudini solari alle sigizie, lune nuove o lune piene. Dalla
(8 bis) per DT ° = 1°si può calcolare il ciclo
sinodico della luna: 7,18,17; P =
------------- giorni (11) mentre il numero di giorni per 72 anni tropici ( equivalente
a DT ° = 1°) è 4,40;48*DT °
DT° *72 = 7,18,18*DT ° -
------------------- giorni (12) 8,20; IIIl moto solare Il
modello per il calcolo delle longitudini solari alle lune nuove o alle lune
piene si basa su delle semplici assunzioni. 1)
Se il sole percorresse ogni giorno 1° l’anno sarebbe esattamente di 360 giorni 2)
Se la lunghezza del mese lunare (da novilunio a novilunio, da plenilunio a
plenilunio) fosse di 30 giorni, vi
sarebbe l’equivalenza di 12 mesi lunari ogni anno solare: L’espressione 360°/a
----------- 30°/m risulta pari a
12m/a. Tuttavia il mese lunare non è di 30 giorni e l’anno solare di
360. Allora si può pensare di suddividere il percorso di 360° in due archi,
continuando il sole a percorrere ogni mese lunare su un tratto, quello più
lungo e più veloce, 30°/m, mentre, sul rimanente arco, una velocità
inferiore : v1 = m/n * 30°/m con m < n. L’espressione
precedente diventa Dato
a1+ a2 = 360°/a a°1
a°2
Mesi ------------ + ------------ = --------------- (13)
m/n*30°/m 30°/m Anni
Dato la misura di un arco e i termini del rapporto m e n si può trovare sia il numero dei mesi che il numero
degli anni che caratterizza il ciclo lunisolare alla base del calcolo delle
posizioni del sole mese dopo mese. Viceversa dato il numero degli anni e quello
corrispondente dei mesi lunari si
può trovare con procedure
semplicemente aritmetiche sia il valore di n (Anni/30) sia il valore di a°1 procedendo nel seguente modo: Se B è il numero
dei mesi corrispondenti ad A anni solari l’arco a°1
è pari o è un sottomultiplo della differenza aritmetica B - 360*A/30 Solo se tale differenza è inferiore a 180 o è pari ad un multiplo di una
grandezza inferiore a 180 la misura dell’arco può essere assunta, dovendo
essere a°1 l’arco più corto. Infatti abbiamo la
seguente eguaglianza: B - 360*A/30 = [n-m]*a°1 (14) Per una completa determinazione del sistema è necessario
sapere almeno la longitudine l di almeno uno
dei punti di discontinuità della velocità solare (Dl°/m). In
base alla (11) e alla (12) è possibile calcolare la correzione finale Dl° del ciclo (A anni tropici = B mesi lunari)
sull'arco veloce, e in base ad m e n, ridurla proporzionalmente sull'arco
lento. Tale correzione dipende dal fatto che il numero B di mesi lunari non
coincide esattamente con il numero A di anni tropici. Per
il calcolo dei due archi, a°1 e a°2 ,
con la (13) e la (14) è necessario che il numero B di mesi lunari sia
quello relativo ad A anni siderei, perché la somma dei due archi è 360°, mentre
per il calcolo delle longitudini solari B si riferisce ad A anni tropici. Esempi di calcolo Calcoliamo
i parametri del sistema rispettivamente per un intervallo temporale DT
= 65°,60°, 50°, 888 e 651 anni.
Applicando
la (10 bis) si ottiene: per
DT = 65° B = 57883.466 @ 57883.5 per
DT = 60° B =
53430.892 @ 53431 per
DT = 50° B =
44525.743 @ 44526 per 888 anni DT = 888/72 = 12°.3333
B = 10983.01 @
10983 per 651 anni DT = 651/72 = 9°.041666 B = 8051.738 @ 8052 Il
numero A per i primi tre cicli è rispettivamente di 4680, 4320,3600 anni Applicando
la (6) si ottiene la differenza tra anno sidereo e anno tropico per i cinque
periodi scelti: 1)
4680*7/496 = 66.04.. giorni @ 2 mesi lunari 2)
4320*7/496 = 60.96.. giorni @ 2 mesi lunari 3)
3600*7/496 = 50.80.. giorni @ 1.5 mesi lunari 4)
888*7/496 = 12.53.. giorni @ 0 mesi lunari 5)
651*7/496 = 9.18.. giorni @ 0 mese lunare Sapendo
che il parametro n è uguale a A/30 si applichi la (14) per la determinazione
dei parametri mancanti, che sono la lunghezza dei due archi in cui viene
suddiviso il percorso (apparente)
annuale del sole e il valore di m. Essi sono rispettivamente: 1)
172°.55 - 187°.45 ; n - m = 10 2)
177° - 183° ; n - m = 9 3)
165°.75 - 194°.25; n- m = 8 4)
163°.5 - 196°.5; 10*[n-m ] = 20 5) 160° - 200°;
10*[n-m] = 15 L'inizio
dell'arco veloce si trova per i primi quattro sistemi a l = 153°, mentre per l'ultimo a l
= 142°. I
parametri del sistema di calcolo basato sui diversi cicli lunisolari sono i
seguenti:
Affinché
si possa calcolare una longitudine solare è necessario conoscere almeno il
valore di longitudine del sole ad una luna nuova o ad una luna piena. Senza
questa conoscenza si ha a che fare semplicemente con uno schema di calcolo
che gira a vuoto. Sia
il To definito da l(0) = 1° 48' = 1°.8
con la luna all'opposizione, a 180° dal sole. Il
presupposto implicito di questo sistema si basa sulla banale osservazione che
il sole si trova ad un valore di longitudine al novilunio in base al valore del
mese precedente più l'incremento di velocità angolare che dipende dall'arco in
cui si trovava al mese precedente. In termini letterali ciò si esprime l(1) = l(0)
+ Dl°/m con Dl°/m = 30° se si è sull'arco veloce oppure Dl°/m =30°*m/n se si è sull'arco lento. Se si oltrepassa il punto di discontinuità è necessario procedere
ad una correzione della misura eccedente, moltiplicando tale misura per n/m se
si passa dall'arco lento a quello veloce,o per m/n se si passa dall'arco veloce
a quello lento. In questi casi il sole è andato oltre le sue misure ed è
necessario l'opera della giustizia che dà l'appropriata correzione, come
esplicitamente vien detto in un frammento di Eraclito, un pensatore ionico
della città di Efeso del V secolo a.C. Se
vi fosse solo questa possibilità di calcolo non si potrebbe andare tanto
lontano. E' possibile con una procedura semplicemente aritmetica calcolare la
posizione del sole per qualsiasi intervallo di mesi lunari. Colui che guida il
carro solare, Apollo, non solo ha la lira ma anche l'arco, con il quale può
colpire da lontano. Indichiamo
con DM l'intervallo temporale espresso in mesi. Si
moltiplica DM per A e si divide per B segnando il resto R R*30°/A
fornisce l'incremento di longitudine sull'arco veloce che deve essere aggiunto
o sottratto al valore iniziale.
Ovviamente si opera la correzione proporzionale a m/n se il valore iniziale si
trova sull'arco lento. Indichiamo il valore così ottenuto con dl. Si
ottiene L°
= l(0) + dl per il futuro L°
= l(0) - dl
per il passato A
questo punto se L° e l(0) appartengono al medesimo arco
con L° > l(0) per il futuro e L°< l(0) per il passato, allora si procede aggiungendo o
sottraendo in modo proprozionale a DM la correzione finale del ciclo Dl° propria dell'arco in cui si trova L°. Se non si è
oltrepassato alcun punto di discontinuità il valore così ottenuto è la
longitudine cercata, altrimenti si corregge proporzionalmente a m/n o a n/m la
misura eccedente. Se
L° e l(0) non appartengono al medesimo
arco allora è necessario correggere la differenza L° - primo punto oltrepassato
= dl' . Se il nuovo valore L° (primo
punto oltrepassato ± dl' ) oltrepassa anche il secondo
punto si corregge la seconda volta. Ottenuto il nuovo valore di L° si applica
la correzione finale del ciclo Dl° propria dell'arco in cui si trova L°
proporzionalmente a DM. La
cosmocronologia qui delineata non è solo un pezzo del museo dedicato alla
storia del pensiero scientifico, ma è
soprattutto la base per la comprensione corretta e completa di tutta la
cultura arcaica, dei principali documenti letterari e religiosi dell'antichità
fino a Dante compreso e forse
oltre. Esempi Sia
dato l(0) + 10006 mesi = 3° 49' 38" con la luna
all'opposizione e si voglia sapere il valore di l(0) al tempo zero To applicando il ciclo di 888 anni. 10006*888/10983 R = 81 81*30°*296/888*316 = 2.56329... = 2° 33'
48" 3°
49' 38" - 2°33' 48" = 1°15' 50" Non
si è oltrepassato alcun punto di discontinuità. La correzione finale per 10006
mesi sull'arco lento è -0.4938
* 10006*296/10983*316 = - 0.4214.. = - 0°- 25' -17" per cui 1°
15' 50" - (- 0° - 25' - 17")
= 1° 41' 7" = l(0) Partendo
da questo valore iniziale si voglia calcolare la posizione del sole dopo 61125
mesi. 61125*888/10983: R = 1014 1014*30°*296/888*316
= 32°5' 19" 1°
41' 7" + 32° 5' 19" = 33° 46'
26" = L° L°
si trova sullo stesso arco lento del valore iniziale. Procedendo alla
correzione finale per 61125 mesi
si ottiene - 0.4938*61125*296/10983*316 = - 2.57426..
= - 2°-34' -27" 33°
46' 26" + [- 2°-34'
-27"] = 31° 11' 59" @ 31° 12" La
posizione del sole dopo 61125 mesi è a l =
31° 12" . Si
voglia calcolare la posizione del sole dopo 51119 mesi con l(0) = 3°
49' 38" con la luna all'opposizione 51119*888/10983 : R = 933 933*30°*296/888*316 =
29°.525... = 29° 31' 31" 3°
49' 38" + 39° 31' 31" = 33° 21' 9" = L° L°
si trova sullo stesso arco lento del valore iniziale. Procedendo alla
correzione finale per 51119 mesi si ottiene
-0.4938*51119*296/10983*316 = - 2.1528... = - 2° -9' - 10" 33°
21' 9" + [- 2° -9' - 10"] = 31° 11' 59" @ 31° 12" Si
voglia calcolare la posizione del sole dopo 21780.5 mesi, essendo l(0) = 1° 42' con la luna all'opposizione applicando il sistema basato sul ciclo di 3600 anni.
21780.5*3600/44526 : R = 44040
44040*30°*120/3600*128 = 344°.0625 = 344° 3' 45" 1°
42' + 344° 3' 45" = 345° 45' 45" = L° L°
ha oltrepassato sia il primo che il secondo punto di discontinuità 345°
45' 45" - 153° = 192° 45' 45" misura eccedente il primo punto di
discontinuità Si
aumenta tale misura moltiplicando per 128/120 = 16/15 192°.7625*16/15
= 205°.6133333.. = 205° 36' 48" 153°
+ 205°36' 48" = 358°36' 48" Il
valore ha superato il punto di discontinuità a l = 347° 15' . Si procede all'ulteriore correzione proporzionale alla
velocità propria dell'arco lento. 358°
36' 48" - 347° 15' = 11° 21' 48" 11°.363333...
*15/16 = 10.653125 = 10° 39' 11" 15'" 347°
15' + 10° 39' 11" 15'" =
357° 54' 11" 15'" = L° Correzione
finale per 21780.5 mesi 21780.5*7.5756*15/44526*16
= 3°.47410... = 3°28' 26" 45'" 357°
54' 11" 15'" + 3° 28' 26" 45'" = 1° 22' 38" Dopo
21780.5 mesi il sole si trova in congiunzione con la luna a l =
1° 22' 38" Prof. Giovanni Ferrero Storia del pensiero scientifico Facoltà di Scienze della Formazione Università Di Genova C.so Montegrappa 39 - 16137 Genova [1] Una nostra prima Ipotesi sulla struttura della cosmologia arcaica si trova in Introduzione alla cosmologia arcaica greca, pp.45-47 in "Rivista Rosminiana" I (1987) pp. 32-57. Ad essa rinviamo per la bibliografia astronomica scientifica da cui dipendiamo per la conoscenza del Sistema A babilonese. |