Archimede nell'opera Dimensio Circuli, assume come cosa nota i rapporti 265/153 minore di rad 3 minore di 1351/780 per giungere ai rapporti 223/71 minore di pi minore di 22/7 da cui si possono ottenere
(223 +5*22)/71+5*7 (Archimede)
(223 +6*22)/71+6*7
(223 +7*22)/71+7*7 (Tolomeo)
Scrive Eduard J.Dijkstherhuis (Archimede, Ponte alle Grazie,1989,pag.185) : "Si pone a questo punto il problema di quale procedimento possa aver seguito Archimede per calcolare i valori approssimati di radici quadrate, e in particolare come sia riuscito a trovare per radice di 3 le due approssimazioni che hanno costituito i punti di partenza del calcolo. Veniamo qui a toccare un groviglio di problemi che ha suscitato indagini storiche e ricostruzioni matematiche in misura maggiore di qualunque altro tema della matematica greca".
L'ottavo termine della successione dei rapporti per rad 3 è 4240/2248 cioè 16*265/16*153,mentre l'undicesimo
86464/49920 risulta 64*1351/64*780.
Che sia questo il procedimento impiegato da Archimede e in genere dai Greci si può vedere da quanto mostra Eutocio nel suo commentario sulla Misura del cerchio. Secondo E.J.Dijkserhuis " è significativo che... Eutocio illustri i passaggi in cui si parla delle approssimazioni di rad 3 soltanto con una verifica, dalla quale risulta che 1351*1351 differisce poco da 3*780*780 e analogamente 265*265 differisce poco da 3*153*153. "(op.cit.pag.191). Nel primo caso il quadrato di 1351 è maggiore di un'unità del triplo del quadrato di 780 e nel secondo il quadrato di 265 è inferiore di due unità al triplo del quadrato di 153. Diversamente dall'opinione dello storico, proprio questo è significativo ed è conforme alle osservazioni di Erone, di Proclo e di altri: Poiché nei numeri non si dà un numero quadrato che sia doppio di un altro numero quadrato, triplo di un altro numero quadrato e così via, allora si cercano quelle coppie di quadrati per le quali vale
x*x - 2*y*y = ± 1
x*x -3*y*y = + 1
x*x -3*y*y = - 2
Per A = 5 la regola impiegata individua le soluzioni a
x*x - 5*y*y = ± 1
Per questa ragione l'esposizione antistorica con l'uso della notazione algebrica non fa vedere allo storico l'estensione della regola di Teone di Smirne, regola che era praticata ben prima, e la vicinanza della regola di Erone. Ci sembra difficile da accettare, benché sia molto elegante quanto è affermato: "Il metodo applicato da Erone consiste perciò nel reperimento di due numeri aventi rad d per media geometrica, e nella costruzione, a partire da quelli, della media aritmetica e della media armonica" (op.cit.pag.186). Erone definisce il suo metodo come quello della "differenza più piccola" ed espone la sua regola con un esempio. Si deve trovare il lato di un quadrato che misura 720 unità. Il numero quadrato più vicino è 729, il cui lato è 27. Si divida 720 per 27. Si aggiunga 27 a 720/27. Si divida per due il risultato ottenuto. Questo è quanto scrive Erone:
1/2 [27 +720/27]
che equivale a
(27*27 + 720)/27+27
i cui termini sono riscrivibili in
| 27 720| |27|
| 1 27 | | 1 |
come mostriamo nell'esposizione della regola.
La trattazione classica sul rapporto pi greco si trova in un'opera di Archimede, Dimensio Circuli, (Opera,I,pp.231-243,
J.L.Heiberg). Qui vorremo mostrare come i rapporti impiegati dai greci,
333/106 (Archimede), 355/113, 377/120 (Tolomeo), [cfr.Wilbur R. Knorr, Archimedes and the measurement of the Circle, Communicated by D.T.Whiteside, pag. 130, in Archive for History of exact Sciences, Volume 15,Number 2,pp.115-140) ,1976] dipendono forse da una tradizione di costruzione molto più antica, con l'impiego della sezione aurea in architettura.
Il rapporto 22/7 (Archimede) è più adatto per misurazioni pratiche rispetto ai due rapporti 211875/67441 e 197888/62351 che il matematico siracusano fornisce nell' opera citata e si trova implicato nella genesi degli altri rapporti. Si osservi infatti come i tre termini 333, 355,377 si trovino tutti dall'incremento del primo e del secondo di 22 unità, mentre 106,113,120 sono aumentati rispettivamente di 7 unità.
I 5/6 del rapporto 377/120 genera il rapporto 377/144 i cui termini si trovano nella successione Fibonacci.
Poiché 377/144 è circa (3 + rad 5)/2, quadrato di
(1 +rad 5)/2, allora 6/5*(3+rad 5)/2 viene assunto come approssimawione di pi greco
Poiché rad 5 è calcolabile mediante una successione di rapporti (poni A=5) è possibile ottenere diversi rapporti per pi greco, la cui successione però non individua il limite di pi greco, perché è un numero trascendente e non irrazionale; Dante avrebbe semplicemente detto "avversario de la ragione" (Vita Nuova ,XXXIX,1). Scegliendo il terzo rapporto ottenuto per A = 5, 161/72 come approssimazione di rad di 5, si ottiene effettivamente
(3 + 161/72)/2 = 377/144. I 6/5 di 377/144 sono appunto 377/120 il cui quadrato è 9.87 + 1/14400.
Ora da 377/120, sottraendo dal numeratore 22 e dal denominatore 7, si ha sia 355 che 333, sia 113 che 106.